Matematická logika, od negácie po biimplikáciu

Matematická logika je odvetvie logiky a matematiky, ktoré obsahuje matematické štúdium logiky a aplikáciu tejto štúdie na iné oblasti mimo matematiky. Matematická logika úzko súvisí s počítačovou vedou a filozofickou logikou, pričom hlavnými témami sú expresívna sila formálnej logiky a deduktívna sila systémov formálneho dôkazu. Matematická logika sa často člení na vetvy z teórie množín, teórie modelov, teórie rekurzií, teórie dôkazov a konštruktívnej matematiky. Tieto polia majú rovnaké základné logické výsledky.

Vyhlásenie

V matematickej logike sa naučíme určovať hodnotu výroku. Samotné tvrdenie je veta, ktorá má skutočnú hodnotu alebo určitú hodnotu nepravdivú, ale nie obe.

Uzavreté vyhlásenie a otvorené vyhlásenie

Výroky sa potom delia na dva typy, uzavreté výroky (uzavreté vety) a otvorené výroky (otvorené vety) . Uzavretým výrokom je výrok, ktorého pravdivostná hodnota je istá, zatiaľ čo otvoreným výrokom je výrok, ktorého pravdivostná hodnota je neistá.

Príklady vyhlásení:

  • 9 je nepárne číslo >> toto tvrdenie je pravdivé
  • Jakarta je hlavným mestom Indie >> toto tvrdenie je nepravdivé

V matematickej logike sú výroky reprezentované písmenami p, q alebo r.

Otvorené vety sú matematické vety, ktoré nemajú pravdivostnú hodnotu. Táto veta vždy obsahuje premenné.

Príklady otvorených viet:

  • Mesto A je známe ako mesto dažďov
  • Atha nechodí do školy kvôli chorobe

Na rozdiel od uzavretých viet, kde je možné zistiť hodnotu pravdy, sú otvorené vety, pravdivé a nepravdivé, stále otázne. Táto veta preto nemôže byť vyjadrená.

Z otvorenej vety sa dá urobiť výrok, ak sú premenné vo vete nahradené hodnotou, takže veta má pravdivostnú hodnotu.

Príklad:

Mesto známe ako dážď je otvorená veta, zatiaľ čo

Bogor je známy ako mesto dažďov je výroková veta

Negácia

Po pochopení toho, čo je výrok a čo je otvorená veta, je ďalším krokom diskusia o negácii.

Negácia alebo tiež nazývaná negácia / popretie je vyhlásenie, ktoré popiera dané. Pamäť výpisov je možné vytvoriť pridaním výrazu „Nie je pravda, že ...“ pred príkaz, ktorý je odmietnutý. Toto je označené znakom ~.

Povedzme, že p je pravda, potom ~ p je nepravdivé. Naopak, ak p je nepravdivé, potom ~ p je pravdivé.

Príklad negácie výroku:

  1. Jakarta je hlavné mesto Malajzie

    Jakarta nie je hlavným mestom Malajzie

  2. 9 je nepárne číslo

    9 nie je nepárne číslo

Zložené vyhlásenia

Potom je príkaz ďalej preložený do zložených príkazov, ktoré sú v tomto prípade rozdelené do niekoľkých typov:

  1. Spojenie
  2. Disjunkcia
  3. Dôsledky
  4. Biimplikácia

1. Spojenia

Spojka , ktorá je označená (Ʌ) je vyhlásenie, zlúčenina s väzbou "a". Bude pravdivé, ak sú premenné pravdivé, a nepravdivé, ak je jedna z premenných nepravdivá.

Príklad:

p: Jakarta je hlavným mestom sveta (vyhlásenie so skutočnou hodnotou)

q: Jakarta je metropolitné mesto (vyhlásenie so skutočnou hodnotou)

p ^ q: Jakarta je hlavné mesto sveta a metropolitné mesto (výrok so skutočnými hodnotami)

2. Disjunkcia

Disjunkcia , ktorá sa označuje ako (V) je zložený výrok, ktorý sa vytvorí spojením dvoch jednotlivých výrokov pomocou spojky „alebo“. Disjunkcia je pravdivá, ak je jeden z výrokov pravdivý a nepravdivý, ak sú oba výroky nepravdivé.

Príklad:

p: Jakarta je hlavným mestom sveta (vyhlásenie so skutočnou hodnotou)

q: Jakarta je mesto študentov (vyhlásenie s nesprávnou hodnotou)

pVq: Jakarta je hlavným mestom sveta alebo študentským mestom (vyhlásenie so skutočnou hodnotou)

3. Dôsledky

Z toho vyplývajú dve otázky p a q, ktoré sú uvedené vo forme vety „ak p, potom q“. Toto je označené p -> q.

Príklad:

p: Atha je pri štúdiu usilovná (výrok so skutočnou hodnotou)

q: Atha prešla s brilantným skóre (údaj o skutočnej hodnote)

p-> q: Ak je Atha usilovná pri štúdiu, potom Atha uspeje s vynikajúcim skóre (vyhlásenie je pravdivé)

4. Biimplikácie

Biimplikácia je zložené tvrdenie vyjadrené vo forme vety „... len a len ak“. Toto je označené pq, čítajte „p práve a len vtedy, ak q“.

Príklad:

p: 1 + 1 = 2 (tvrdenie je pravdivé)

q: 2 je nepárne číslo (nepravdivé tvrdenie)

pq: 1 + 1 = 2 práve vtedy, ak je 2 nepárne číslo (údaj o nesprávnej hodnote)