Čo je to matematická indukcia?

Matematika pre študentov predstavuje desivé stigma , aj keď čím viac budete matematiku často skúmať a cvičiť, tým to bude zábavnejšie a zábavnejšie. Tak , teraz pozveme vás vedieť viac o matematické indukcie. Čo je to matematická indukcia a na čo sa používa?

Samotnú matematickú indukciu možno interpretovať ako techniku ​​dokazovania v matematike. Používa sa na dokázanie špeciálnych výrokov obsahujúcich prirodzené čísla. Dôkaz o použití tejto metódy vedie k všeobecným záverom.

Úvod do matematickej indukcie

Pri dokazovaní pomocou matematickej indukcie sa získajú všeobecné závery. Na vyvodenie záverov sa používajú dva typy uvažovania, a to deduktívne uvažovanie a induktívne uvažovanie.

  • Deduktívne uvažovanie je uvažovanie, ktoré začína od všeobecných tvrdení až po konkrétne tvrdenia. Tento prístup sa nazýva prístup „všeobecne špecifický“, pretože uvažovanie sa začína od všeobecnej veci a potom sa končí konkrétnymi vecami. Príklad; všetky jablká sú ovocie, všetko ovocie rastie na stromoch, takže všetky jablká rastú na stromoch.
  • Induktívne uvažovanie je uvažovanie, ktoré začína od konkrétnych výrokov po všeobecné výroky. Tento prístup sa nazýva prístup „všeobecne špecifický“, pretože vyhlásenia sa skladajú z konkrétnych bodov, ktoré vedú k všeobecne prijatým záverom. Príklad; Cestujúci v autobuse si všimne, že zakaždým, keď vodič autobusu šliape na brzdový pedál, budú všetci cestujúci v autobuse tlačení dopredu.

(Prečítajte si tiež: Transformácia v matematike, napríklad Čo?)

Okrem toho je možné pomocou metódy matematickej indukcie dokázať pravdivosť špeciálnej hypotézy tak, aby bola všeobecne akceptovaná. Takže táto metóda sa používa ako dôkaz pri indukčnom uvažovaní.

Aplikácia matematickej indukcie

Uplatnenie matematickej indukcie možno nájsť v rôznych odvetviach matematiky. Hypotézy usporiadané v matematike musia byť dokázané, aby boli všeobecne akceptované. Hypotéza je všeobecne platná, ak sa preukáže ako pravdivá pre všetky použité číselné hodnoty. Tu je príklad tvrdenia, ktoré je možné týmto spôsobom dokázať.

Dokážte, že súčet nepárnych číselných radov -n je n2. Kde n je prirodzené číslo.

Riešenie: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 platí pre každých n € A

Základný krok: pre n = 1 dostaneme, že P1 = 1 = 12 je správny.

Indukčný krok: predpokladajme, že pre n = k, P k je pravda. Ukáže sa, že pre n = k + 1 platí P (k + 1) = (k + 1) 2.

Venujte pozornosť nasledujúcim krokom:

Pre n = k platí P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2.

Pridaním [2 (k + 1) -1] na obidve strany

P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (preukázané)

Princípy matematickej indukcie

Nech P (n) je výrok obsahujúci prirodzené čísla. Výraz P (n) je možné dokázať ako pravdivý pre všetky prirodzené čísla n vykonaním krokov matematickej indukcie.

Tu sú kroky na vykonanie dôkazu pomocou tejto metódy:

  1. Dokážte, že P (1) platí alebo P (n) platí pre n = 1.
  2. Ak P (k) platí, potom ukážku P (k + 1) platí pre každé kladné celé číslo k.

Ak sú kroky (1) a (2) správne, je možné dospieť k záveru, že P (n) platí pre každé prirodzené číslo n. Krok 1 sa nazýva základný krok, zatiaľ čo krok 2 sa nazýva indukčný krok.