Systém a metóda riešenia troch variabilných lineárnych rovníc

V architektúre existujú matematické výpočty pre budovy budov, jedným z nich je systém lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc je užitočný na určenie súradníc priesečníkov. Správne súradnice sú nevyhnutné na vytvorenie budovy, ktorá zodpovedá náčrtu. V tomto článku si ukážeme systém lineárnych rovníc s tromi premennými (SPLTV).

Systém troch premenných lineárnych rovníc pozostáva z niekoľkých lineárnych rovníc s tromi premennými. Všeobecná forma lineárnej rovnice s tromi premennými je nasledovná.

sekera + o + cz = d

a, b, c a d sú reálne čísla, ale a, b a c nemôžu byť všetky 0. Rovnica má veľa riešení. Jedno riešenie možno získať prirovnaním ľubovoľnej hodnoty k dvom premenným, aby sa určila hodnota tretej premennej.

Hodnota (x, y, z) je sada riešení pre systém troch premenných lineárnych rovníc, ak hodnota (x, y, z) vyhovuje trom rovniciam v SPLTV. Súbor zúčtovania SPLTV je možné určiť dvoma spôsobmi, a to substitučnou metódou a eliminačnou metódou.

Substitučná metóda

Substitučná metóda je metóda riešenia systémov lineárnych rovníc nahradením hodnoty jednej premennej z jednej rovnice do druhej. Táto metóda sa vykonáva dovtedy, kým sa nezískajú všetky hodnoty premenných v sústave troch premenných lineárnych rovníc.

(Prečítajte si tiež: Systém dvoch premenných lineárnych rovníc)

Substitučná metóda sa ľahšie používa na SPLTV, ktorá obsahuje rovnice s koeficientom 0 alebo 1. Tu sú kroky riešenia substitučnej metódy.

  1. Nájdite rovnicu, ktorá má jednoduché tvary. Zjednodušené rovnice majú koeficient 1 alebo 0.
  2. Vyjadrte jednu premennú vo forme ďalších dvoch premenných. Napríklad premenná x je vyjadrená ako y alebo z.
  3. Hodnoty premenných získané v druhom kroku nahraďte inými rovnicami v SPLTV, aby sa získal systém lineárnych rovníc s dvoma premennými (SPLDV).
  4. Určte zúčtovanie SPLDV získané v treťom kroku.
  5. Určte hodnoty všetkých neznámych premenných.

Urobme nasledujúci príklad problému. Nájdite množinu riešení pre nasledujúci systém troch premenných lineárnych rovníc.

x + y + z = -6… (1)

x - 2r + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Najskôr môžeme previesť rovnicu (1) na, z = -x - y - 6 na rovnicu (4). Potom môžeme rovnicu (4) dosadiť do rovnice (2) nasledovne.

x - 2r + z = 3

x - 2r + (-x - y - 6) = 3

x - 2r - x - r - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Potom môžeme rovnicu (4) dosadiť do rovnice (3) nasledovne.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Máme hodnoty pre x = -5 a y = -3. Môžeme ho zapojiť do rovnice (4), aby sme dostali hodnotu z nasledovne.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3 - 6

z = 2

Takže máme množinu riešení (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Metóda eliminácie

Metóda eliminácie je metóda riešenia sústav lineárnych rovníc elimináciou jednej z premenných v dvoch rovniciach. Táto metóda sa vykonáva, kým nezostane iba jedna premenná.

Eliminačnú metódu je možné použiť vo všetkých systémoch lineárnych rovníc troch premenných. Ale táto metóda vyžaduje dlhý krok, pretože každý krok môže vylúčiť iba jednu premennú. Na stanovenie zúčtovacej sady SPLTV sú potrebné minimálne 3 eliminačné metódy. Táto metóda je ľahšia, ak sa kombinuje so substitučnou metódou.

Kroky na dokončenie pomocou eliminačnej metódy sú nasledujúce.

  1. Sledujte tri podobnosti na SPLTV. Ak majú dve rovnice rovnaký koeficient na tej istej premennej, odčítajte alebo pridajte dve rovnice tak, aby premenná mala koeficient 0.
  2. Ak žiadna premenná nemá rovnaký koeficient, vynásobte obe rovnice číslom, vďaka ktorému je koeficient premennej v oboch rovniciach rovnaký. Odčítajte alebo sčítajte dve rovnice tak, aby premenná mala koeficient 0.
  3. Opakujte krok 2 pre ďalšie páry rovníc. Premenná vynechaná v tomto kroku musí byť rovnaká ako premenná vynechaná v kroku 2.
  4. Po získaní dvoch nových rovníc v predchádzajúcom kroku určite sadu riešení pre dve rovnice pomocou metódy riešenia systému s dvoma premennými lineárnymi rovnicami (SPLDV).
  5. Hodnotu dvoch premenných získaných v kroku 4 nahraďte jednou z rovníc SPLTV tak, aby sa získala hodnota tretej premennej.

V nasledujúcom probléme sa pokúsime použiť eliminačnú metódu. Určte skupinu riešení SPLTV!

2x + 3r - z = 20… (1)

3x + 2r + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV môže určiť množinu riešení vylúčením premennej z. Najskôr spočítajte rovnice (1) a (2), aby ste získali:

2x + 3r - z = 20

3x + 2r + z = 20+

5x + 5r = 40

x + y = 8 ... (4)

Potom vynásobte 2 v rovnici (2) a 1 v rovnici (1), čím získate:

3x + 2r + z = 20 | x2 6x + 4r + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Keď poznáte hodnotu x, dosaďte ju za rovnicu (4) nasledovne.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Hodnoty xay nahraďte v rovnici (2) nasledovne.

3x + 2r + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Takže množina riešení SPLTV (x, y, z) je (5, 3, -1).